Question

10．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，D为AC中点，E为BC上一点，且∠CDE=∠ABC．
（1）求证：DE⊥平面BCC₁B₁；
（2）若AA₁=AC=2AB=2，求三棱锥D-BCB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）证明：B₁B⊥DE，DE⊥BC，即可证明DE⊥平面BCC₁B₁；
（2）利用等体积法，求三棱锥D-BCB₁的体积．

解答 （1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴B₁B⊥平面ABC，
又DE?平面ABC，
∴B₁B⊥DE，…（2分）
∵∠CDE=∠ABC，∠DCE=∠BCA
∴△EDC∽△ABC，
∴∠DEC=∠BAC=$\frac{π}{2}$
即DE⊥BC…（4分）
又B₁B∩BC=B
∴DE⊥平面BCC₁B₁；…（6分）
（2）S_△BCD=S_△ABC-S_△ABD=$\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$…（9分）
∵B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B为三棱锥B₁-BCD的高…（10分）
∴由等体积可得三棱锥D-BCB₁的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2$=$\frac{1}{3}$…（13分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定是关键．