Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点$（0\;，\;\sqrt{2}）$，且满足a+b=3$\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 斜率为$\frac{1}{2}$的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂．
①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k₁，k₂的值；
②试探究k₁+k₂是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件直接求解b，a，得到椭圆的方程．
（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，直线的方程是$l：y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，然后求解斜率．
②判断k₁+k₂为定值，且k₁+k₂=0．设直线的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$．与椭圆方程联立，利用△=4m²-8m²+16＞0，求出直线与椭圆交于两点时m的范围，设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），利用韦达定理，结合直线的斜率，化简求解即可．

解答 （共14分）
解：（Ⅰ）由椭圆过点$（0，\sqrt{2}）$，则$b=\sqrt{2}$．
又$a+b=3\sqrt{2}$，
故$a=2\sqrt{2}$．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是$l：y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=0}\\{{y_1}=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}=-2\sqrt{2}}\\{{y_2}=0}\end{array}}\right.$
故${k_1}=-\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$，${k_2}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$．…（8分）
②k₁+k₂为定值，且k₁+k₂=0．
设直线的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$消y，得x²+2mx+2m²-4=0．
当△=4m²-8m²+16＞0，即-2＜m＜2时，直线与椭圆交于两点．
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，${x_1}{x_2}=2{m^2}-4$．
又${k_1}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-2}}$，${k_2}=\frac{{{y_2}-1}}{{{x_2}-2}}$，
故${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-2}}+\frac{{{y_2}-1}}{{{x_2}-2}}$=$\frac{{（{y_1}-1）（{x_2}-2）+（{y_2}-1）（{x_1}-2）}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}$．
又${y_1}=\frac{1}{2}{x_1}+m$，${y_2}=\frac{1}{2}{x_2}+m$，
所以（y₁-1）（x₂-2）+（y₂-1）（x₁-2）=$（\frac{1}{2}{x_1}+m-1）（{x_2}-2）+（\frac{1}{2}{x_2}+m-1）（{x_1}-2）$=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0．
故k₁+k₂=0．…（14分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查方程思想，转化思想，分析问题解决问题的能力．