Question

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点，过点作抛物线的切线，其切点分别为（其中）。
⑴ 求的值；
⑵ 若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的面积。

Answer 1

⑴，；⑵圆的面积为 。

试题分析：（Ⅰ）由y=x²先求出y′=2x．再由直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），得到x₁=1-，或x₁=1+；同理可得x₂=1-，或x₂=1+，然后由x₁＜x₂知x₁=1-，x₂=1+．
（Ⅱ）由题意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，则直线MN的方程为：2x-y+1=0．再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径，可求出圆E的面积．
解：⑴由可得，    ……1分
∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，
即，   ……3分    ∴，  ……5分
同理可得    ……6分
∵   ∴，    ……7分
⑵由⑴知，   
      ……9分
直线方程为：， 即   ……11分
     ……13分  故圆的面积为      ……14分
点评：解决该试题的关键是能运用导数的几何意义得到切点的坐标，并能利用韦达定理，得到直线方程，点到直线的距离公式得到圆的半径求解其面积。