【题目】已知抛物线的焦点为
,过点
的直线
交抛物线
于
和
两点.
(1)当时,求直线
的方程;
(2)若过点且垂直于直线
的直线
与抛物线
交于
、
两点,记
与
的面积分别为
与
,求
的最小值.
【答案】(1)或
;(2)
.
【解析】
(1)设直线的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与抛物线
的方程联立,列出韦达定理,结合条件
可求得
的值,进而可求得直线
的方程;
(2)设直线的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与抛物线
的方程联立,列出韦达定理,利用弦长公式求得
,利用三角形的面积公式可求得
,同理可得出
的表达式,然后利用基本不等式可求得
的最小值.
(1)直线过的定点
在横轴上,且直线
与抛物线相交,则斜率一定不能为
,所以可设直线
方程为
.
联立,消去
得
,
由韦达定理得,
,
所以.
因为,所以
,解得
.
所以直线的方程为
或
;
(2)根据(1),设直线的方程为
.
联立,消去
得
,
由韦达定理得,
,
则.
因为直线与直线
垂直,
且当时,直线
的方程为
,则此时直线
的方程为
.但此时直线
与抛物线
没有两个交点,
所以不符合题意,所以.
所以直线的斜率为
,可得
,
,
当且仅当时,等号成立,因此,
的最小值为
.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点,(
)在曲线C:
上,直线l过点
且与
垂直,垂足为P.
(Ⅰ)当时,求在直角坐标系下点P坐标和l的方程;
(Ⅱ)当M在C上运动且P在线段上时,求点P在极坐标系下的轨迹方程.
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【题目】(2017·衢州调研)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影,N是PC的中点.
(1)求证:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
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【题目】如图,在三棱锥中,
是边长为2的正三角形,
是等腰直角三角形,
.
(I)证明:平面平面ABC;
(II)点E在BD上,若平面ACE把三棱锥分成体积相等的两部分,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知点(1,e),(e,)在椭圆上C:
1(a>b>0),其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l经过C的上顶点且l与抛物线M:y2=4x交于P,Q两点,F为椭圆的左焦点,直线FP,FQ与M分别交于点D(异于点P),E(异于点Q),证明:直线DE的斜率为定值.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,试判断函数
是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)当时,写出
与
的大小关系.
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【题目】在直角坐标系中,已知点
,
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)设曲线与曲线
相交于
,
两点,求
的值.
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【题目】已知函数,且满足_______.
(Ⅰ)求函数的解析式及最小正周期;
(Ⅱ)若关于的方程
在区间
上有两个不同解,求实数
的取值范围.从①
的最大值为
,②
的图象与直线
的两个相邻交点的距离等于
,③
的图象过点
.这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
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