Question

【题目】已知点（1，e），（e，）在椭圆上C：1（a＞b＞0），其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l经过C的上顶点且l与抛物线M：y2＝4x交于P，Q两点，F为椭圆的左焦点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明：直线DE的斜率为定值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）证明见解析

【解析】

（1）由椭圆过两个点及e与a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；

（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线PF的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得点D的坐标，同理可得E的坐标，求出直线DE的斜率可得为定值.

解：（1）由题意可得解得：a2＝2，b2＝1，

所以椭圆的方程为：y2＝1；

（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：y＝kx+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立直线l与抛物线的方程，整理可得：y2﹣y+1＝0，△＝1﹣k＞0即k＜1，且k≠0，

y1+y2，y1y2，

由（1）可得左焦点F（﹣1，0），所以直线FP的方程为：y（x+1），

联立直线PF与抛物线的方程：整理可得：y2y+4＝0，所以y1yD＝4，所以yD，

所以D的坐标（，），

同理可得：E的坐标（，），

所以kDE1，

所以可证得直线DE的斜率为定值1.