Question

【题目】已知函数.

（1）若.证明函数有且仅有两个零点；

（2）若函数存在两个零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）当时，函数，定义域为，利用导数分析其单调性，使在单调递减，在单调递增，进而分别计算并判断，，与零的大小比较，最后由零点的存在性定理即可确定零点的个数；

（2）由是函数的两个零点，知，进而表示，再由分析法逐步反推不等式，最后令，构造函数，由（1）的单调性分析，表示最小值并由双勾函数证得，即可得证.

（1）由题可知，定义域

当时，函数，则，（为的导函数）

单调递增

，

使.

时，单调递减；时，单调递增

所以

由双勾函数性质可知，在递减，，，且，

在上有且只有一个零点

又，且

所以在上有且只有一个零点

综上，函数有且仅有两个零点

（2）由是函数的两个零点，知

要证

需证

令

需证

令

与（1）同理得

所以

故