【题目】已知正方体的棱长为
为
的中点,下列说法中正确的是( )
A.与
所成的角大于
B.点到平面
的距离为1
C.三棱锥的外接球的表面积为
D.直线与平面
所成的角为
【答案】D
【解析】
对于A选项,取的中点为
,可得
,则
为
与
所成的角,结合余弦定理即可判断;
对于B选项,求出四棱锥的所有棱长,从而可得四棱锥
的高即为点
到平面
的距离;
对于C选项,可判断三棱锥的外接球即四棱锥
的外接球,根据勾股定理可求出四棱锥
的外接球半径,再根据球的表面积公式即可判断;
对于D选项,设交平面
于点
,通过线面垂直的判定定理,可推出
,从而可找出直线
与平面
所成的角,再利用余弦定理即可求得直线
与平面
所成的角的大小.
解:如图,正方体的棱长为
为
的中点,
对于,取
的中点为
,连接
,
则,则
与
所成的角即为
与
所成的角,即为
,
在中,
,
,
,
由余弦定理得:,
即,而异面直线夹角为
,即
,
所以,故A不正确;
连接,
因为为矩形,且
,
,
,
则四棱锥的顶点
投影在底面
的中心,即底面
对角线的中点,
而底面的对角线为:
,
则四棱锥的高为:
,
即点到平面
的距离为
,故B不正确;
由图可知,、
、
、
的四点共面,
所以三棱锥的外接球即四棱锥
的外接球,
设四棱锥的外接球半径为
,
则,解得
,
则三棱锥的外接球表面积
,故C不正确;
连接,其中
与
交于点
,
交平面
于点
,连接
,
由于四点共面,平面
在平面
内,
则直线与平面
所成的角即为直线
与平面
所成的角,
因为正方体,则,
而平面
,则
,且
,
所以平面
,
平面
,
则,则
为直线
与平面
所成的角,
在中,
,
则,得
,
所以在中,
,则
,
即:直线与平面
所成的角为
,
所以直线与平面
所成的角为
,故D正确.
故选:D.
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【题目】某城市对一项惠民市政工程满意程度(分值:分)进行网上调查,有2000位市民参加了投票,经统计,得到如下频率分布直方图(部分图):
现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取位市民召开座谈会,其中满意程度在
的有5人.
(1)求的值,并填写下表(2000位参与投票分数和人数分布统计);
满意程度(分数) | |||||
人数 |
(2)求市民投票满意程度的平均分(各分数段取中点值);
(3)若满意程度在的5人中恰有2位为女性,座谈会将从这5位市民中任选两位发言,求男性甲或女性乙被选中的概率.
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【题目】已知点(1,e),(e,)在椭圆上C:
1(a>b>0),其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l经过C的上顶点且l与抛物线M:y2=4x交于P,Q两点,F为椭圆的左焦点,直线FP,FQ与M分别交于点D(异于点P),E(异于点Q),证明:直线DE的斜率为定值.
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【题目】已知椭圆的长轴是短轴的两倍,以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于
,直线l与椭圆C交于
两点,其中直线l不过原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线的斜率分别为
,其中
且
.记
的面积为S.分别以
为直径的圆的面积依次为
,求
的最小值.
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【题目】在直角坐标系中,已知点
,
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)设曲线与曲线
相交于
,
两点,求
的值.
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【题目】某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.
(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;
(2)若考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.
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