Question

【题目】已知实数，函数.

（Ⅰ）证明：对任意，恒成立；

（Ⅱ）如果对任意均有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求导得到函数，故只需证，设，求导得到，得到证明.

（Ⅱ）对任意有意义，，令可得， 所以，再证明对任意，任意，不等式恒成立，考虑关于的函数，根据其单调性得到，计算函数单调性得到证明.

（Ⅰ）易知的定义域为，

若，则，

，

则在单调增，在单调减，

所以.

要证恒成立，只需证.

令，.

，函数在上单调递增，在上单调递减，

故，由于，

∴，即恒成立.

（Ⅱ），即.（*）

1°（*）对任意有意义，

当时，，∴；

2°若（*）对任意恒成立，则.

特别地，在（*）中令可得，

故.

注意到在单调增，

且，所以当且仅当.

3°下面证明：对任意，任意，不等式（*）恒成立.

首先，将正实数给定，考虑关于的函数，

注意到在单调增，

故.

下面只需说明：对于恒成立即可.

显然，故只需说明在单调增，在单调减.

当时，，

故；

当时，，

故.因此在单调增，在单调减.

综上可知，实数的取值范围是.