Question

（2012•江门一模）某产品生产成本C与产量q（q∈N^*））的函数关系式为C=100+4q，销售单价P与产量q的函数关系式为p=25-

1

8

q．
（1）产量q为何值时，利润最大？
（2）产量q为何值时，每件产品的平均利润最大？

Answer 1

分析：（1）表示出销售收入R、利润L，根据二次函数的性质即可求得答案；
（2）每件产品的平均利润f（q）=

L

q

，利用导数即可求得最大值及产量q值，注意q为正整数．

解答：解：（1）销售收入R=q×p=25q-

1

8

q2，
利润L=R-C=-

1

8

q2+21q-100（0＜q＜200），
L=-

1

8

(q-84)2+782，
所以产量q=84时，利润L最大；
（2）每件产品的平均利润f（q）=

L

q

=21-(

1

8

q+

100

q

)，
f′（q）=-

1

8

+

100

q2

，
解f′（q）=0得q=20

2

，
0＜q＜20

2

时，f′（q）＞0，f（q）单调递增；
20

2

＜q＜200时，f′（q）＜0，f（q）单调递减，
因为28＜20

2

＜29，且f（28）＞f（29），
所以产量q=28时，每件产品的平均利润L最大．
答：产量q=28时，每件产品的平均利润最大．

点评：本题考查应用导数求实际背景下函数的最值问题、二次函数的性质，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力．