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(2009•黄冈模拟)如图,已知曲线c1
x2
a2
+
y2
b 2
=1(b>a>0,y≥0)
与抛物线c2:x2=2py(p>0)的交点分别为A、B,曲线c1和抛物线c2在点A处的切线分别为l1、l2,且l1、l2的斜率分别为k1、k2
(Ⅰ)当
b
a
为定值时,求证k1•k2为定值(与p无关),并求出这个定值;
(Ⅱ)若直线l2与y轴的交点为D(0,-2),当a2+b2取得最小值9时,求曲线c1和c2的方程.
分析:(Ⅰ)利用导数分别求l1、l2的斜率分别为k1、k2.进而可求k1•k2,利用点A在曲线c1和抛物线c2上,结合
b
a
为定值时可得结论.
(Ⅱ)设A点的坐标为(x0
x
2
0
2p
)
,利用l2过点D(0,-2),则x02=4p,从而可求点A(-2
p
,2)
的坐标代入曲线c1的方程得
4p
a2
+
4
b2
=1
.从而利用基本不等式可求a2+b2最小值,注意等号成立的条件.
解答:解:(Ⅰ)设点A的坐标为(x0,y0),
x2
a2
+
y2
b 2
=1(b>a>0,y≥0)
得:y=
b
a
a2-x2

y′=-
bx
a
a2-x2
,∴k1=y′|_x=x0…2′
由x2=2py(p>0)得y=
1
2p
x2
,∴k2=y′|_x=x0…4′
k1k2=-
b
x
2
0
pa
a2-
x
2
0

又∵x02=2py0
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1
,∴
x
2
0
a2-
x
2
0
=
2pb
a

k1k2=-
b
x
2
0
pa
a2-
x
2
0
=-
2b2
a2
为定值.…6′
(Ⅱ)如图设A点的坐标为(x0
x
2
0
2p
)
,则x0∈(-a,0).
由(Ⅰ)知:k2=
x0
p
,则直线l2:y=
x0
p
(x-x0)+
x
2
0
2p

∵l2过点D(0,-2),则x02=4p,即x0=-2
p
,∴点A(-2
p
,2)
.…8′
A(-2
p
,2)
代入曲线c1的方程得
4p
a2
+
4
b2
=1

a2+b2=(a2+b2)•(
4p
a2
+
4
b2
)=4p+4+
4a2
b2
+
4pb2
a2

由重要不等式得a2+b2≥4p+8
p
+4
.…10′
当且仅当“=”成立时,有
4p+8
p
+4=9
4pb2
a2
=
4a2
b2
4p
a2
+
4
b2
=1
,解得
p=
1
4
a2=3
b2=6

c1
x2
3
+
y2
6
=1(y≥0)
,c2:y=2x2.…13′
点评:本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题,主要考查椭圆与抛物线的位置关系,考查利用基本不等式求最值.
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2
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λa+μb
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)2
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λa2b2
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