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已知椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,椭圆的短轴端点与双曲线
y2
2
-x2
=1的焦点重合,过P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭C的方程;
(Ⅱ)求
OA
OB
的取值范围.
(I)由双曲线
y2
2
-x2
=1得焦点(0,±
3
)
,得b=
3

e=
c
a
=
1
2
,a2=b2+c2,联立解得a2=4,c=1.
故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(II)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),联立
y=k(x-4)
x2
4
+
y2
3
=1

(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,
由△=(-32k22-4(4k2+3)(64k2-12)>0得k2
1
4

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
32k2
4k2+3
x1x2=
64k2-12
4k2+3

y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2
OA
OB
=x1x2+y1y2=(1+k2)•
64k2-12
4k2+3
-4k2
32k2
4k2+3
+16k2
=25-
87
4k2+3

0≤k2
1
4
,∴-
87
3
87
4k2+3
<-
87
4

OA
OB
∈[-4,
13
4
)

OA
OB
的取值范围为[-4,
13
4
)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知抛物线x2=4
3
y
的准线过双曲线
x2
m2
-y2=-1
的一个焦点,则双曲线的离心率为(  )
A.
3
2
4
B.
6
2
C.
3
D.
3
3

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

[理]如图,已知动点A,B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的实线上运动,若ABx轴,点N的坐标为(1,0),则△ABN的周长l的取值范围是______.
[文]点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则P到直线y=x-2的距离的最小值是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C1
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的右顶点为P(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设抛物线C2:y=x2+h(h∈R)的焦点为F,过F点的直线l交抛物线与A、B两点,过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点,且Q点在椭圆C1上,求△ABQ面积的最值,并求出取得最值时的抛物线C2的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M,N两点,△FMN面积的最大值为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P,A,B是椭圆E上异于顶点的三点,Q(m,n)是单位圆x2+y2=1上任一点,使
OP
=m
OA
+n
OB

①求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
②求OA2+OB2的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知P是椭圆
x2
45
+
y2
20
=1
的第三象限内一点,且它与两焦点连线互相垂直,若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3,则实数m的取值范围是(  )
A.[-7,8]B.[-
9
2
21
2
]
C.[-2,2]D.(-∞,-7]∪[8,+∞)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知A(-2,0),B(2,0),P为平面内一动点,直线PA,PB的斜率之积为-
1
4
,记动点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若点D(0,2),点M,N是曲线C上的两个动点,且
DM
DN
,求实数λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),F1、F2是其左右焦点,其离心率是
6
3
,P是椭圆上一点,△PF1F2的周长是2(
3
+
2
).
(1)求椭圆的方程;
(2)试对m讨论直线y=2x+m(m∈R)与该椭圆的公共点的个数.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过点C(4,0)的直线与双曲线
x2
4
-
y2
12
=1的右支交于A、B两点,则直线AB的斜率k的取值范围是(  )
A.|k|≥1B.|k|>
3
C.|k|≤
3
D.|k|<1

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