Question

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（Ⅱ）若a＞

1

3

，f（a）+f（1-3a）＞0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）用定义法证明函数的单调性，作差，变形，判号，得出结论四步；
（Ⅱ）先移项，利用函数的奇偶性，得f（a）＞-f（1-3a）=f（3a-1），然后再利用函数的单调性即可的a的取值范围．
（Ⅲ）将b表示为x的函数，利用单调性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）．证：任设0＜x₁＜x₂≤1，则f(x1)-f(x2)=

2x1

4x +1

-

2x2

4x2+1

=

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

．
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴2x1+x2-1＞0，2x2-2x1＞0．
∴

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1]上是减函数．
（Ⅱ）由f（a）+f（1-3a）＞0得：f（a）＞-f（1-3a）=f（3a-1），
∴

-1≤a≤1 -1≤1-3a≤1 a＜3a-1 a＞ 1 3

，解得

1

2

＜a≤

2

3

，
∴实数a的取值范围为：

1

2

＜a≤

2

3

；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）-x，则g（x）为（0，1]上的单调递减函数．
∴g(x)∈[g(1)，g(0))⇒g(x)∈[-

3

5

，

1

2

)．
∵g（x）在[-1，1]上为奇函数，∴当x∈[-1，0）时g(x)∈(-

1

2

，

3

5

]．
又g（0）=0，
∴g(x)∈[-

3

5

，

3

5

]，即b∈[-

3

5

，

3

5

]．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质和应用，同时考查了函数的定义域的求法，体现了整体意识，在利用单调性列关于x的不等式时，注意函数的定义域，是中档题．