Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

．给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，4]；
②关于x的方程f(x)=(

1

2

)n(n∈N*)有2n+4个不相等的实数根；
③当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=2；
④存在x₀∈[1，8]，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立，
其中你认为正确的所有结论的序号为

①③

．

Answer 1

分析：将解析式进行整理，分别得到函数在1≤x≤

3

2

和

3

2

＜x≤2时，进而得到0≤f（x）≤4；依此类推：当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，f（x）=2^5-2n（x-2^n-1）；当3•2^n-2＜x≤2ⁿ时，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此时，0≤f（x）≤2^3-n．
据此即可判断答案．

解答：解：∵f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，
∴（1）当1≤x≤

3

2

时，f（x）=8-8x；
此时，0≤f（x）≤4；
当

3

2

＜x≤2时，f（x）=16-8x，
此时0≤f（x）＜4；
（2）当2＜x≤3时，则1＜

x

2

≤

3

2

，
此时f（x）=

1

2

(8×

x

2

-8)=8×

x

22

-4=2x-4，
0≤f（x）≤2；
当3＜x≤4时，则

3

2

＜x≤2，
此时f（x）=

1

2

(16-8×

x

2

)=8-8×

x

22

=8-2x，0≤f（x）＜2；
…
依此类推：当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，f（x）=

23-n

3×2n-2-2n-1

（x-2^n-1）=2^5-2n（x-2^n-1），
此时，0≤f（x）≤2^3-n；
当3•2^n-2＜x≤2ⁿ时，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此时，0≤f（x）≤2^3-n．
故函数f（x）的值域为[0，4]，①正确；
当n=1时，f(x)=

1

2

，有且仅有7个不等实数根，不是2×1+4=6个不等实数根，故②不正确；
当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积S=

1

2

（2ⁿ-2^n-1）×2^3-n=2，故③正确；
由于xf（x）＞6，则f(x)＞

6

x

，
由f（x）的图象可得到：当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，
f（x）≤f（3•2^n-2）=2^3-n=

6

3•2n-2

可得：f(x)≤

6

x

，故④不正确．
故答案为：①③．

点评：本题综合考查了分类讨论思想方法、直线方程、函数的单调性、函数的交点与方程的根、如何否定一个命题等基础知识与基本技能，考查了数形结合的方法与能力、类比推理能力和计算能力．