Question

12．已知直线l的方程为（2k-1）x-（k+3）y-（k-1）=0（k∈R）．
（1）求证：不论k取何值，直线l恒过定点；
（2）求过此点且与两坐标轴围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$的直线方程．

Answer 1

分析 （1）把已知的直线方程变形，利用直线系方程联立方程组可得直线l恒过定点；
（2）引入两个截距，用截距式写出方程，代入（1）中求出的点的坐标得到一个关于两个截距的方程，再用截距表示出与坐标轴所围成的三角形的面积，令其为$\frac{1}{2}$，得到另一个关于截距的方程，解这两个方程组成方程组，求出截距，写出方程即可．

解答 （1）证明：由（2k-1）x-（k+3）y-（k-1）=0，得k（2x-y-1）+（-x-3y+1）=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{-x-3y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{7}}\\{y=\frac{1}{7}}\end{array}\right.$．
∴直线l恒过定点（$\frac{4}{7}，\frac{1}{7}$）；
（2）解：设所求直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{7a}+\frac{1}{7b}=1}\\{\frac{1}{2}|a||b|=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{7-\sqrt{33}}{5}}\\{b=\frac{7+\sqrt{33}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{7+\sqrt{33}}{5}}\\{b=\frac{7-\sqrt{33}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{7+\sqrt{65}}{2}}\\{b=\frac{-7+\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{65}-7}{2}}\\{b=\frac{-7-\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$．
∴直线l的方程为$\frac{x}{\frac{7-\sqrt{33}}{5}}+\frac{y}{\frac{7+\sqrt{33}}{8}}=1$或$\frac{x}{\frac{7+\sqrt{33}}{5}}+\frac{y}{\frac{7-\sqrt{33}}{8}}=1$或$\frac{x}{-\frac{7+\sqrt{65}}{2}}+\frac{y}{\frac{-7+\sqrt{65}}{8}}=1$或$\frac{x}{\frac{\sqrt{65}-7}{2}}+\frac{y}{\frac{-7-\sqrt{65}}{8}}=1$．

点评 本题考查直线系方程，考查用待定系数法求直线方程，本题先引入参数，表示出直线的方程，再根据题设的条件建立起参数的方程求参数，这是求直线方程时常用的一个思路，考查计算能力，是基础题．