Question

11．某中学校办工厂生产某种教学模型的固定成本是10万元，每生产1千个，需另投入2.7万元，设该厂一年内共生产这种教学模型x（0＜x＜10）千个，并全部销售完，每千个的销售收入为p（x）万元且p（x）=10.8-$\frac{{x}^{2}}{30}$．当年产量为多少千个时，该厂在这种教学模型的生产中所获利润最大，最大利润是多少？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

Answer 1

分析 当0＜x＜10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-10，由W′=8.1-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=9，可得函数的单调性，得x=9，推导出当x=9时，W取最大值，且w_max=38.6．

解答 解：当0＜x＜10时，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-10，
由W′=8.1-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，w′＞0，
当x∈（9，10）时，w′＜0．
∴当x=9时，W取最大值，且w_max=8.1×9-$\frac{1}{30}×{9}^{3}$-10=38.6
∴当年产量为9千个时，该厂在这种教学模型的生产中所获利润最大，最大利润是38.6万元．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用的应用，属于中档题．