Question

1．已知抛物线x²=2py（p＞0）．过点M（0，m）的直线抛物线交于A，B两点．又过A，B两点分别作抛物切线，两条切线相交于点P．
（1）求证：两条切线的斜率之积为定值；
（2）当p=m=4时．求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，将其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2pm=0．设A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=-2pm，将抛物线的方程改写为y=$\frac{1}{2p}$x²，求导得y′=$\frac{x}{p}$．由此能够证明直线l₁和l₂的斜率之积为定值；
（2）表示出点P到直线AB的距离，线段AB的长度，利用三角形面积公式表示出三角形面积，进而求得△PAB面积的最小值．

解答 （1）证明：依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，
将其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2pm=0
设A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=-2pm，
将抛物线的方程改写为y=$\frac{1}{2p}$x²，求导得y′=$\frac{x}{p}$．
所以过点A的切线l₁的斜率是$\frac{{x}_{1}}{p}$，过点B的切线l₂的斜率是$\frac{{x}_{2}}{p}$，
所以直线l₁和l₂的斜率之积为$\frac{{x}_{1}}{p}$•$\frac{{x}_{2}}{p}$=-$\frac{2m}{p}$；
（2）解：当p=m=4时，将y=kx+4代入x²=2py，消去y整理得x²-8kx-32=0
∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-32，
又因为y′=（$\frac{1}{8}$x²）′=$\frac{1}{4}$x，
所以，抛物线y=$\frac{1}{8}$x²在点A，B处的切线方程分别为：y=$\frac{1}{4}$x₁x-$\frac{1}{8}$x₁²，y=$\frac{1}{4}$x₂x-$\frac{1}{8}$x₂²．
得两切线的交点P（4k，-4）．
所以点P到直线l的距离为d=$\frac{|4{k}^{2}+8|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
又因为|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{64{k}^{2}+128}$．
设△PAB的面积为S，所以S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=16$\sqrt{（{k}^{2}+2）^{3}}$≥32$\sqrt{2}$（当k=0时取到等号）．
所以△PAB面积的最小值为32$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离的应用．考查了学生分析推理和运算的能力．