Question

9．如图，锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2bcosB=a•cosC+c•cosA
（1）求角B的大小；
（2）若线段BC上存在一点使得AD=2，且AC=$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$-1，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理求得cosB=$\frac{1}{2}$，可得B的值．
（2）由余弦定理求得cosC的值，可得C的值，利用三角形内角和公式求得A的值，再利用正弦定理求得AB的值，从而求得S_△ABC．=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA 的值．

解答 解：（1）锐角三角形ABC中，∵2b•cosB=a•cosC+c•cosA，
∴2b•cosB=a•cosC+c•cosA=a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$+c•$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=b，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）△ACD中，∵AD=2，且AC=$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$-1，由余弦定理可得
cosC=$\frac{{（\sqrt{6}）}^{2}{+（\sqrt{3}-1）}^{2}-4}{2\sqrt{6}•（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴C=$\frac{π}{4}$，∴A=π-B-C=$\frac{5π}{12}$，
由$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$可得 $\frac{\sqrt{6}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{AB}{sin\frac{π}{4}}$，∴AB=2，
∴S_△ABC．=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{6}$•sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{6}$•（sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{6}$•（$\frac{\sqrt{6}}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和公式，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．