Question

2．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（sinθ，cosθ），0≤θ≤$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，求tanθ；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=3，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角α的正弦值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（sinθ，cosθ），利用共线向量的坐标运算可得tanθ；
（2）利用向量的运算性质及向量的数量积的应用可求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角α的余弦值，继而可得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角α的正弦值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，
∴cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=0，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵|$\overrightarrow{b}$|=3，|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为α，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2|$\overrightarrow{a}$|²+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{b}$|²=8+3×2×3cosα-9=0，
∴cosα=$\frac{1}{18}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{323}}{18}$．

点评 本题考查平面向量的数量积的运算及共线向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．