Question

12．已知长为2的线段AB中点为C，当线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上运动时，C点的轨迹为曲线C₁；
（1）求曲线C₁的方程；
（2）直线$\sqrt{2}$ax+by=1与曲线C₁相交于C、D两点（a，b是实数），且△COD是直角三角形（O是坐标原点），求点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）设C点坐标为（x，y），根据中点坐标公式，得到A点坐标为（2x，0），B点坐标为（0，2y），由|AB|=2，即可求出曲线C₁的方程，
（2）先求出，△COD是等腰直角三角形，|CD|=$\sqrt{2}$，再根据点到直线的距离公式得到$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由点到点的距离公式，根据函数的性质即可求出．

解答 解：（1）设C点坐标为（x，y），则A点坐标为（2x，0），B点坐标为（0，2y），由|AB|=2，得（2x-0）²+（0-2y）²=4，
化简得x²+y²=1，
所以曲线C₁的方程x²+y²=1，
（2）由曲线C₁的方程x²+y²=1可知圆心（0，0），半径为1，
所以|OC|=|OD|=1，△COD是等腰直角三角形，|CD|=$\sqrt{2}$，
圆心（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=1的距离$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即2a²+b²=2，
所以a²=1-$\frac{1}{2}$b²，（-$\sqrt{2}$≤b≤$\sqrt{2}$）
点P（a，b）与点（0，1）之间距离|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}{b}^{2}+（b-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{b}^{2}-2b+2}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（b-2）^{2}}$，
当b=$\sqrt{2}$时，|OP|取到最小值|OP|=$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了点的轨迹方程，点到直线的距离，点到点的距离，以及函数的性质，属于中档题．