Question

4．已知首项为1的正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁+S₂=a₃．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂a_n+1，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设首项为1的正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；
（2）运用对数的运算性质，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设首项为1的正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁+S₂=a₃，可得1+1+q=q²，
解得q=2（负的舍去），
即有a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，
即有$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故前n项和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．