Question

20．某种产品的成本f₁（x）（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系是f₁（x）=$\frac{1}{100}$x²，该产品的销售单价f₂（x）可以表示为关于年销量的一次函数，其部分图象如图所示，且生产的产品都能在当年销售完．
（1）求f₂（x）的解析式及定义域；
（2）当年产量为多少吨时，所获利润s（万元）最大（注：利润=收入-成本）；并求出s的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可设：f₂（x）=kx+b（k≠0），由于图象经过点（0，3），（100，2）．代入解出即可得出．令f₂（x）＞0，解得函数的定义域．
（2）设年产量为x吨，s=x•f₂（x）-f₁（x）=-$\frac{1}{50}$（x-75）²+$\frac{225}{2}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由题意可设：f₂（x）=kx+b（k≠0），由于图象经过点（0，3），（100，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{2=100k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{100}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴f₂（x）=$-\frac{1}{100}x$+3，令f₂（x）=$-\frac{1}{100}x$+3＞0，解得0＜x＜300，其定义域为（0，300）．
（2）设年产量为x吨，s=x•f₂（x）-f₁（x）=$x（-\frac{1}{100}x+3）$-$\frac{1}{100}$x²=$-\frac{1}{50}{x}^{2}$+3x=-$\frac{1}{50}$（x-75）²+$\frac{225}{2}$，
∴当x=75时，s取得最大值$\frac{225}{2}$（万元）．

点评 本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．