Question

21、已知数列{a_n}：a₁=1，a₂=2，a₃=r，a_n+3=a_n+2（n是正整数），与数列{b_n}：b₁=1，b₂=0，b₃=-1，b₄=0，b_n+4=b_n（n是正整数）．
记T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₁₂=64，求r的值；
（2）求证：当n是正整数时，T_12n=-4n；

Answer 1

分析：本题考查的知识点是数列求和及数学归纳法证明．（1）由已知中a₁=1，a₂=2，a₃=r，a_n+3=a_n+2，我们易给出a₁+a₂+a₃+…+a₁₂的表达式（含参数r），构造方程后，解方程即可进行求解．（2）要证明当n是正整数时，T_12n=-4n，我们可以利用数学归纳法，对其进行论证．

解答：解：（1）a₁+a₂+a₃+…+a₁₂
=1+2+r+3+4+（r+2）+5+6+（r+4）+7+8+（r+6）
=48+4r．
∵48+4r=64，
∴r=4．
证明：（2）用数学归纳法证明：
当n∈Z⁺时，T_12n=-4n．
①当n=1时，T₁₂=a₁-a₃+a₅-a₇+a₉-a₁₁=-4，
等式成立
②假设n=k时等式成立，即T_12k=-4k，
那么当n=k+1时，
T_12（k+1）=T_12k+a_12k+1-a_12k+3+a_12k+5-a_12k+7+a_12k+9-a_12k+11
=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）
=-4k-4=-4（k+1），
等式也成立．
根据①和②可以断定：当n∈Z⁺时，T_12n=-4n．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．