Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x²+4x-30|对?x∈R恒成立，数列{a_n}满足：，，数列{b_n}满足：．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n和为S_n，前n的积为T_n，求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）方程2x²+4x-30=0有两实根x=-5或x=3…（1分）
由题意知：当x=-5时，|f（-5）|≤|2•（-5）²+4•（-5）-30|=0，
又∵|f（-5）|≥0，
∴f（-5）=0…（3分）
∴-5是f（x）的一个零点，同理，3也是f（x）的一个零点，…（4分）
∴f（x）=x²+ax+b=（x-3）（x+5）=x²+2x-15，即a=2，b=-15，
显然，|x²+2x-15|≤2|x²+2x-15|对x∈R恒成立．
∴a=2，b=-15…（6分）
（Ⅱ）∵a₁=，2a_n=f（a_n-1）+15，
∴2a_n=+2a_n-1=a_n-1（a_n-1+2），n=2，3，4，…（7分）
∴=，n=2，3，4，…，
=，n=1，2，3，…
∴b_n==，…（9分）
T_n=b₁b₂…b_n=••…
=•
=…（10分）
又∵b_n=====-…（12分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（-）+（-）+…+（-）=-=2-…（13分）
∴2ⁿ⁺¹T_n==2-S_n，
∴S_n+2ⁿ⁺¹T_n=2为定值． …（14分）
分析：（Ⅰ）由方程2x²+4x-30=0有两实根x=-5或x=3可知，∴-5是与-3是函数f（x）=x²+ax+b的零点，利用韦达定理即可求得a，b的值；
（Ⅱ）由a₁=，2a_n=f（a_n-1）+15可求得=，结合已知b_n=可求得b_n=，从而可求得T_n，对b_n=进一步转化可得b_n=-，继而可求得其前n项和S_n，问题即可解决．
点评：本题考查二次函数的零点，数列的求和，考查数列递推公式的应用，突出考查累乘法与裂项法求和的应用，综合性强，难度大，考查创新意识与综合应用能力，属于难题．