Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=n-5a_n-85与S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85作差、整理得a_n+1=$\frac{5}{6}$a_n+$\frac{1}{6}$，变形可知a_n+1-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1），进而可知数列{a_n-1}是以-15为首项、$\frac{5}{6}$为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知a_n-1=-15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵S_n=n-5a_n-85，
∴S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85，
两式相减得：a_n+1=1+5a_n-5a_n+1，
整理得：a_n+1=$\frac{5}{6}$a_n+$\frac{1}{6}$，
∴a_n+1-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1），
又∵a₁=1-5a₁-85，即a₁=-14，
∴a₁-1=-14-1=-15，
∴数列{a_n-1}是以-15为首项、$\frac{5}{6}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知a_n-1=-15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$，
∴a_n=1-15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．