Question

12．函数y=2x+$\sqrt{9-{x}^{2}}$的值域是[-6，3$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 先对原函数进行求导y$′=2-\frac{x}{\sqrt{9-{x}^{2}}}$，而原函数的定义域为[-3，3]，从而根据导数符号可判断原函数在[-3，0]上单这样便得到-6≤y≤3．而x∈（0，3）时，可以得出x=$\frac{6}{\sqrt{5}}$时原函数取得极大值，再求x=0和x=3时的y值，便可得到此时的y满足$3＜y≤3\sqrt{5}$，对以上求得的y的范围求并集即可得出原函数的值域．

解答 解：原函数的定义域为[-3，3]；
$y′=2-\frac{x}{\sqrt{9-{x}^{2}}}$；
∴①-3＜x≤0时，y′＞0；
∴原函数在[-3，0]上单调递增；
∴-6≤y≤3；
②0＜x＜3时，$y′=2-\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{{x}^{2}}-1}}$；
令$2-\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{{x}^{2}}-1}}=0$得$x=\frac{6}{\sqrt{5}}$；
∴$x∈（0，\frac{6}{\sqrt{5}}）$时，y′＞0，x∈（$\frac{6}{\sqrt{5}}，3$）时，y′＜0；
∴x=$\frac{6}{\sqrt{5}}$时原函数取得极大值$3\sqrt{5}$，又x=0时，y=3，x=3时，y=6；
∴此时$3＜y≤3\sqrt{5}$；
∴综上得原函数的值域为$[-6，3\sqrt{5}]$．
故答案为：[-6，$3\sqrt{5}$]．

点评 考查函数值域的概念，根据导数符号判断函数的单调性及求函数极值的方法，根据单调性定义求函数在闭区间上函数值域的方法，注意正确求导．