Question

7．已知直角三角形的三边长分别为a，b，c（其中c为斜边长），其内切圆半径为t，求证：r=$\frac{a+b-c}{2}$．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，根据切线的性质得OD=OE=OF=r，再证明四边形CEOF为正方形，所以CE=CF=r，然后根据切线长定理得AE=AD=b-r，BF=BD=a-r，则b-r+a-r=c，所以r=$\frac{a+b-c}{2}$．

解答 证明：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF=r，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEOF为正方形，
∴CE=CF=r，
∴AE=AD=b-r，BF=BD=a-r，
∴b-r+a-r=c，
∴r=$\frac{a+b-c}{2}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．熟练运用切线的性质．