Question

16．已知在数列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1=$（\sqrt{{a}_{n-1}}+1）^{2}$（n≥2），可知$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1（n≥2），进而数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$为首项、1为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：a_n=a_n-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1=$（\sqrt{{a}_{n-1}}+1）^{2}$（n≥2），
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1（n≥2），
又∵$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$，
∴数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$为首项、1为公差的等差数列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{2}$+（n-1），
∴a_n=$（n+\sqrt{2}-1）^{2}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．