Question

【题目】已知抛物线过点，抛物线在处的切线交轴于点，过点作直线与抛物线交于不同的两点、，直线、、分别与抛物线的准线交于点、、，其中为坐标原点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程，并求出点的坐标；

（Ⅱ）求证：为线段的中点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）抛物线的方程为，准线方程为，；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，并可求出抛物线的准线方程，求出切线的方程，进而可求得点的坐标；

（Ⅱ）设直线的方程为，与抛物线的交点为、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，并求出点、的坐标，进而求出线段的中点坐标，由此可证得结论成立.

（Ⅰ）由抛物线过点，得，

所以抛物线的方程为，准线方程为．

设切线的方程为，

由，得，

则，

从而的方程为，得；

（Ⅱ）设直线的方程为，与抛物线的交点为、．

由，得，则，．

因为点的坐标为，所以点的坐标为，

直线的方程为，结合，从而直线，

可得点的坐标为，同理点的坐标为．

因为，

故为线段的中点．