Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为.

（1）把曲线C1的方程化为普通方程，C2的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线C1，C2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P做曲线C2的垂线交曲线C1于E，F两点，求|PE||PF|.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；x﹣y﹣1＝0（2）16

【解析】

（1）曲线C1消去参数即可得出普通方程，曲线C2利用即可化直角坐标方程；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且中点为P（x0，y0），联立抛物线与直线的方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得x03，y0＝2，进而得到线段AB的中垂线的参数方程为（t为参数），代入抛物线方程，利用参数的意义即可得出.

（1）曲线C1的参数方程为（其中t为参数），消去参数可得y2＝4x.

曲线C2的极坐标方程为.展开为（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x﹣y﹣1＝0.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且中点为P（x0，y0），

联立，解得x2﹣6x+1＝0，

∴x1+x2＝6，x1x2＝1.

∴x03，y0＝2.

线段AB的中垂线的参数方程为为（t为参数），

代入y2＝4x，可得t2+8t﹣16＝0，

∴t1t2＝﹣16，

∴|PE||PF|＝|t1t2|＝16.