Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，将曲线方程，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C.

（1）点M（x，y）为曲线C上任意一点，写出曲线C的参数方程，并求出的最大值；

（2）设直线l的参数方程为，（t为参数），又直线l与曲线C的交点为E，F，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段EF的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

Answer 1

【答案】（1）（θ为参数）；4；（2）

【解析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果.

（2）利用中点坐标公式的应用和直线垂直的充要条件的应用求出结果.

解：（1）将曲线方程，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C的方程为，

即，

故曲线C的参数方程为（θ为参数）；

又点M（x，y）为曲线C上任意一点，

所以2cos4cos（）.

所以的最大值为4；

（2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为，

又直线l的参数方程为，（t为参数），

所以直线l的普通方程为x+2y﹣4＝0，

所以有，

解得或.

所以线段EF的中点坐标为（），

即线段EF的中点坐标为（2，1），

直线l的斜率为，

则与直线l垂直的直线的斜率为2，

故所求直线的直角坐标方程为y﹣1＝2（x﹣2），

即2x﹣y﹣3＝0，

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，

得其极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ﹣3＝0.