Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆：()的左右焦点，点是椭圆上一点，且.若椭圆的内接四边形的边的延长线交于椭圆外一点，且点的横坐标为1，记直线的斜率分别为，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求椭圆定义可知,点代入即可得出结果;

（2）设，,因为的延长线交于椭圆外一点，且点的横坐标为1,于是有,将直线与椭圆方程联立,结合韦达定理及弦长公式可求得,,根据已知条件化简即可得出结果.

（1）,∴

点是椭圆上一点，代入方程:，∴，

∴椭圆的标准方程:

（2）设，

的延长线交于椭圆外一点，且点的横坐标为1，于是有 ①

②

于是：

代入②可得

同理

又，可得：

∴

法二：（1）由为椭圆的左右焦点，为上一点，

∴，∴，∴椭圆

将代入可得

∴椭圆的标准方程为

（2）设，由斜率分别为

则直线的方程分别为

将与联立，设

由韦达定理，

∴

同理可证

则由，得

从而

即

∴，∴

又为的内接四边形，∴，∴