Question

【题目】已知O为坐标原点，抛物线E的方程为x2＝2py（p＞0），其焦点为F，过点M （0，4）的直线与抛物线相交于P、Q两点且△OPQ为以O为直角顶点的直角三角形．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x2＝4y；（Ⅱ）见解析

【解析】

（I）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，化简后写出根与系数关系，根据三角形是直角三角形，结合向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得，由此求得抛物线方程.

（II）设出的坐标，求得线段中点的纵坐标，结合抛物线的性质，证得结论成立.

（Ⅰ）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+4，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立直线l与抛物线的方程，整理可得：x2﹣8kpx﹣8p＝0，

所以x1x2＝﹣8p，所以y1y216，

因为△OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以0，即x1x2+y1y2＝0，所以﹣8p+16＝0，解得p＝2，

所以抛物线的方程为：x2＝4y；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得F（0，1），准线方程为：y＝﹣1，

设N（m，n），则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，

而由抛物线的性质可得|NF|＝n+1，即以NF为直径的圆的半径为，

所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切．