Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°， AP=AC， 点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE。
（Ⅰ）求证：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）当二面角A-DE-P为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的体积比。

Answer 1

（Ⅰ）证明：BC∥平面ADE，BC平面PBC，平面PBC∩平面ADE=DE，
∴BC∥ED，
∵PA⊥底面ABC，BC底面ABC，
∴PA⊥BC，
又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∴∠AEP=90°，即AE⊥PC， 
∵AP=AC，
∴E是PC的中点，ED是PBC的中位线，
∴。