Question

已知函数f（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）若b_n=2^kn•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴S_n=n²+2n，（2分）
当n=1时，a₁=S₁=3；（3分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n（n-1）²-2（n-1）2n+1，（5分）
当n=1时，也满足，故a_n=2n+1．（6分）
（2）由f（x）=x²+2x，求导可得f'（x）=2x+1，∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n
∴k_n=2n+2．
又∵b_n=2^k_n•a_n，∴b_n=2²ⁿ⁺²•（2n+1）=4（2n+1）•4ⁿ．（8分）
∴T_n=4×3×4+4×5×4²+4×7×4³+…+4（2n+1）•4ⁿ①
由①×④可得：4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹②
①-②可得：-3T_n=4×[3×4+2•（4²+4³+…+4ⁿ）-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]（10分）
=4×[3×4+2×]∴T_n=．（12分）
分析：（1）根据点在函数图象上，则点满足函数解析式，得到S_n的表达式，进而求得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据题中条件求出k_n的表达式，结合（1）求得的数列{a_n}的通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式，进而可以利用错位相消法求出数列{b_n}的前n项和T_n．
点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及利用错位相消法进行求和，属于中档题．