Question

15．设函数y=ax²与函数y=|$\frac{lnx+1}{ax}$|的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，$\sqrt{e}$）
• B． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）
• D． （$\frac{1}{\sqrt{e}}$，1）∪{$\frac{\sqrt{3}}{3}$e}

Answer 1

分析 令ax²=|$\frac{lnx+1}{ax}$|得a²x³=|lnx+1|，作出y=a²x³和y=|lnx+1|的函数图象，利用导数知识求出两函数图象相切时对应的a₀，则0＜a＜a₀．

解答 解：令ax²=|$\frac{lnx+1}{ax}$|得a²x³=|lnx+1|，显然a＞0，x＞0．
作出y=a²x³和y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：
设a=a₀时，y=a²x³和y=|lnx+1|的函数图象相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{3{{a}_{0}}^{2}{{x}_{0}}^{2}=\frac{1}{{x}_{0}}}\\{{{a}_{0}}^{2}{{x}_{0}}^{3}=ln{x}_{0}+1}\end{array}\right.$，解得x₀=e${\;}^{\frac{2}{3}}$，y₀=$\frac{1}{3}$，a₀=$\frac{\sqrt{3}e}{3}$．
∴当0＜a＜$\frac{\sqrt{3}e}{3}$时，y=a²x³和y=|lnx+1|的函数图象有三个交点．
故选：C．

点评 本题考查了函数图象的交点个数判断，借助函数图象求出临界值是关键．