Question

5．已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR=90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K．
（1）求证：Q、H、K、P四点共圆；
（2）求证：QT=TS．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的三个顶点可看作以斜边为直径的圆上的三点即得结论；
（2）通过互补、同弧所对的圆周角相等，说明△TSK、△TKQ为等腰三角形即可．

解答 证明：（1）∵过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K，
∴∠PHQ=∠PKQ=90°，
∴Q、H、K、P四点共圆；
（2）∵Q、H、K、P四点共圆，
∴∠HKS=$\frac{π}{2}$-∠HPQ=∠HQP，①
∵∠PSR=90°，PR为圆B的直径，
∴∠PQR=90°，∠QRH=∠HQP，②
由①②得，∠QSP=∠HKS，
∴△TSK为等腰三角形，ST=TK，
又∵∠SKQ=90°，
∴∠SQK=∠TKQ，即△TKQ为等腰三角形，QT=TK，
∴QT=TS．

点评 本题考查综合法在证明中的应用，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．