Question

17．在面积为$\sqrt{15}$的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c+bsinAtanB=4a+bcosA，sinA=2sinC，则a+c=6．

Answer 1

分析 将切化弦，利用两角和差的余弦公式化简，结合a=2c和余弦定理得出b，c的关系，利用三角形的面积列方程解出三角形的边长．

解答 解：∵c+bsinAtanB=4a+bcosA，∴ccosB+bsinAsinB=4acosB+bcosAcosB，
∴（c-4a）cosB=b（cosAcosB-sinAsinB）=bcos（A+B）=-bcosC．
∵sinA=2sinC，∴a=2c，
∴-7ccosB=-bcosC．
∴7c×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=b×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即3a²+4c²-4b²=0，
∵a=2c，∴12c²+4c²=4b²，∴b=2c．
∴a=b=2c．
∴△ABC是等腰三角形，设AB边上的高为h，则h=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{c}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}c$．
∴S=$\frac{1}{2}ch$=$\frac{1}{2}×c×\frac{\sqrt{15}}{2}c$=$\sqrt{15}$．解得c=2．
∴a+c=3c=6．
故答案为6．

点评 本题考查了正余弦定理，三角函数的恒等变换，属于中档题．