Question

2．已知关于x的不等式2x²-2mx+m＜0的解集为A，若集合A中恰好有两个整数，则实数m的取值范围是（$\frac{8}{3}$，$\frac{18}{5}$]．

Answer 1

分析 由判别式大于0求得m＞2，再由A中恰有两个整数，得$\sqrt{{m}^{2}-2m}$≤3，得到对称轴的范围，结合二次函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

解答 解：由题意可得，判别式△=4m²-8m＞0，解得m＜0（舍），或 m＞2．
设A=（a，b），由于集合A中恰有两个整数则有|b-a|≤3，
即|$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-2m}}{2}-\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-2m}}{2}$|=$\sqrt{{m}^{2}-2m}$≤3，
即m²-2m≤9，解得 2＜m≤1+$\sqrt{10}$．
故有对称轴1＜$\frac{m}{2}$≤$\frac{1+\sqrt{10}}{2}$$＜\frac{5}{2}$，
令f（x）=2x²-2mx+m，
而f（4）=32-7m＞0，f（0）=m＞0，f（1）=2-m＜0，
故A中的两个整数为1和2，∴f（2）＜0，f（3）≥0．
即$\left\{\begin{array}{l}{8-3m＜0}\\{18-5m≥0}\end{array}\right.$，解得$\frac{8}{3}＜m≤\frac{18}{5}$．
∴实数m的取值范围是（$\frac{8}{3}$，$\frac{18}{5}$]．
故答案为：（$\frac{8}{3}$，$\frac{18}{5}$]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．