Question

6．已知函数f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{|x|}$-$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+|x|）}$，使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（-1，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 结合指数函数以及对数函数的性质判断函数的单调性和奇偶性，问题转化为|x|＜|2x-1|，解出即可．

解答 解：∵f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{|x|}$-$\frac{1}{1+lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+|x|）}$，
∴f（-x）=f（x），f（x）是偶函数，
x＞0时：f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{x}$-$\frac{1}{1{+log}_{\frac{1}{2}}^{（1+x）}}$，
显然x＞0时，函数f（x）是减函数，
故x＜0时，函数f（x）是增函数，
若f（x）＞f（2x-1），则|x|＜|2x-1|，
∴x²＜（2x-1）²，∴x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
∵x=-1时，1+${log}_{\frac{1}{2}}^{2}$=0，故x≠-1，
故答案为：（-∞，-1）∪（-1，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性奇偶性问题，考查对数函数以及指数函数的性质，是一道中档题．