Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，S_△ABC为△ABC的面积．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{162\sqrt{3}}{{S}_{△ABC}}$，求△ABC的外接圆半径R．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式求得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sin（A+B），再由A+B+C=π，得sinC=sin2C，可得从而求得C的值．
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长，由正弦定理2R=$\frac{c}{sinC}$，求得R．

解答 解：$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinA•cosB，+sinB•cosA=sin（A+B），
△ABC中，A+B+C=π，
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinC=sin2C，
故C=$\frac{π}{3}$，
∵sinA，sinB，sinC成等差数列，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可知a+b=2c，
$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=丨$\overrightarrow{CA}$丨•丨$\overrightarrow{CB}$丨cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$ab，
$\frac{162\sqrt{3}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{162\sqrt{3}}{\frac{1}{2}abcosC}$=$\frac{648}{ab}$，
$\frac{1}{2}$ab=$\frac{648}{ab}$，
∴ab=36，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=4c²-108，
∴c=6，
求△ABC的外接圆半径R．2R=$\frac{c}{sinC}$，
∴R=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查等差数列的性质，查两个向量的数量积公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．