Question

10．求值：sin78°-sin66°-sin42°+sin6°=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先利用和差化积公式和二倍角公式进行化简得到：sin18°-1+2sin²18°；然后根据换元法、三倍角公式结合方程求得（sin18°+2sin²18°）的值，再整体代入求值即可．

解答 解：原式=（sin78°-sin42°）-（sin66°-sin6°），
=2cos$\frac{78°+42°}{2}$sin$\frac{78°-42°}{2}$-2cos$\frac{66°+6°}{2}$sin$\frac{66°-6°}{2}$，
=2cos60°sin18°-2cos36°sin30°，
=2×$\frac{1}{2}$×sin18°-2×$\frac{1}{2}$×cos36°，
=sin18°-1+2sin²18°，
令x=18°，
∴cos3x=sin2x，
∴4（cosx）³-3cosx=2sinxcosx，
∵cosx≠0，
∴4（cosx）²-3=2sinx，
∴4sinx²+2sinx-1=0，
∴sin18°+2sin²18°=$\frac{1}{2}$，
∴原式=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$．
故答案是：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值．解题过程中涉及到了和差化积公式、二倍角公式、三倍角公式以及换元法解方程，难度较大．