Question

10．设点M（x₀，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x₀的最大值为3．

Answer 1

分析 作出对应的同学根据条件∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函数容易求出x₀的范围．

解答 解：易知M（x₀，1）在直线y=1上，
设圆C的方程为（x-2）²+y²=1与直线y=1的交点为T，
假设存在点N，使得∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，
所以要是圆上存在点N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°
因为T（2，1），
所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT=$\frac{CT}{MT}$=$\frac{1}{|{x}_{0}-2|}$≥tan45°=1，
即|x₀-2|≤1，
则-1≤x₀-2≤1，
即1≤x₀≤3
故x₀∈[1，3]．
则x₀的最大值为3，
故答案为：3．

点评 此题重点考查了利用数形结合的思想方法解题，关键是弄清楚M点所在的位置，能够找到∠CMN与∠CMT的大小关系，从而构造出关于x₀的不等式．