Question

20．为推行“新课堂”教学法，某化学教师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．

分数	[50，59）	[60，69）	[70，79）	[80，89）	[90，100]
甲班频数	5	6	4	4	1
乙班频数	1	3	6	5	5

（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”？

	甲班	乙班	总计
成绩优良
成绩不优良
总计

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$
临界值表：

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635

（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）分别计算出成绩优秀和成绩不优秀的人数，求出K²的值，判断在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”
（2）先确定X的取值，分别求其概率，求出分布列和数学期望．

解答 解：（1）

	甲班	乙班	总计
成绩优良	9	16	25
成绩不优良	11	4	15
总计	20	20	40

根据2×2列联中的数据可得K²=$\frac{40（9×4-16×11）^{2}}{25×15×20×20}$≈5.227＞5.024，
∴在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”
（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为$\frac{15}{40}$×8=3，
X的可能取值为：0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{33}{91}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{2}•{C}_{4}^{1}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{44}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{66}{455}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{4}{455}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{65}{455}$	$\frac{4}{455}$

∴E（X）=0×$\frac{33}{91}$+1×$\frac{44}{91}$+2×$\frac{66}{455}$+3×$\frac{4}{455}$=$\frac{364}{455}$=$\frac{4}{5}$
X的数学期望$\frac{4}{5}$．
方法二：X满足超几何分布期望可以用公式E（X）=3×（$\frac{4}{15}$）=$\frac{4}{5}$，
X的数学期望$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，求X的分布列及其期望，考查学生的计算能力，属于中档题．