Question

10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为$（\frac{7π}{3}，-\sqrt{3}）和（\frac{13π}{3}，\sqrt{3}）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=$\sqrt{3}$，a=3，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得A，$\frac{T}{2}$，运用周期公式，可得ω，再由最值的条件，可得φ=$\frac{π}{3}$，即可得到所求解析式；
（Ⅱ）求得A，再由正弦定理和余弦定理，求得bc=1，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得A=$\sqrt{3}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{13π}{3}$-$\frac{7π}{3}$=2π，
可得T=4π，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2}$，
由$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{7π}{3}$+φ）=-$\sqrt{3}$，
解得$\frac{1}{2}$×$\frac{7π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，即φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由|φ|＜$\frac{π}{2}}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，
即有f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）f（A）=$\sqrt{3}$，即为$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
由A∈（0，π），可得$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
即有$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
即有b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
sinB+sinC=1，即b+c=2$\sqrt{3}$，
由a=3，由余弦定理可得
a²=b²+c²-2bccosA=（c+b）²-2bc-2bc×$\frac{1}{2}$=12-3bc=9，
解得bc=1，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，注意运用周期公式和三角形函数的最值，考查三角形的面积的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．