Question

5．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁+a₂=8（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}}$），a₂+a₃+a₄=64（${\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+$\frac{1}{a_4}}$）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=1-（-1）ⁿa_n，不等式c_k≥2016（1≤k≤100，k∈N^*）的解集为M，求所有a_k（k∈M）的和．

Answer 1

分析 （I）设等比数列的公比为q，由a₁+a₂=8（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}}$），a₂+a₃+a₄=64（${\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+$\frac{1}{a_4}}$），即可求出首项和公比，即可求出通项公式；
（II）由（I）可得由（I）可得：c_k=1-（-1）^ka_k=1-（-2）^k，分当n为偶数和n为奇数可以判断数列{a_k}（k∈M）组成首项为2¹¹，公比为4的等比数列．利用其前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由a₁+a₂=8（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}}$），得到a₁+a₁q=8（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{{a}_{1}q}$），①
由a₂+a₃+a₄=64（${\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+$\frac{1}{a_4}}$）得到a₁（q+q²+q³）=$\frac{1}{64{a}_{1}}$（$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$+$\frac{1}{{q}^{3}}$），②
由①②构成方程组，化简后得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}q=8}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{4}=64}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2ⁿ，
（Ⅱ）由（I）可得：c_k=1-（-1）^ka_k=1-（-2）^k，
当n为偶数，c_k=1-2^k≥2016，即2^k≤-2015，不成立
当n为奇数，c_k=1+2^k≥2016，即2^k≥2015，
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
∴M={11，13，15，…，99}，
数列{a_k}（k∈M）组成首项为2¹¹，公比为4的等比数列，且项数为45，
则所有a_k（k∈M）的和为$\frac{{2}^{11}（1-{4}^{45}）}{1-4}$=$\frac{{2}^{101}-2048}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．