Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-2n．
（I）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）求出n=1时，a₁=2；将n换为n-1相减可得a_n=3a_n-1+2，两边加1，由等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式和求和公式，由数列的求和方法：分组求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：当n=1时，2S₁=3a₁-2，
a₁=S₁，可得a₁=2；
当n＞1时，由2S_n=3a_n-2n，可得：
2S_n-1=3a_n-1-2（n-1）．
相减可得2a_n=3a_n-3a_n-1-2，
即a_n=3a_n-1+2，
可得a_n+1=3（a_n-1+1），
即有数列{a_n+1}为首项为3，公比为3的等比数列；
（2）由（1）可得a_n+1=3ⁿ，
数列{a_n}的前n项和为（3+3²+…+3ⁿ）-n
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$-n．

点评 本题考查数列的通项公式的求法和求和的方法：分组求和，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，属于中档题．