Question

已知圆，圆，以及直线.

（1）求圆被直线截得的弦长；

（2）当为何值时，圆与圆的公共弦平行于直线；

（3）是否存在，使得圆被直线所截的弦中点到点距离等于弦长度的一半？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1)因为圆的圆心（0，0），半径r=5,

所以，圆心到直线的距离d：

     ，由勾股定理可知，

圆被直线截得的弦长为.……4分

（2）圆与圆的公共弦方程为，

因为该公共弦平行于直线，令，解得：=-1…………7分

经检验=-1符合题意，故所求；    ………………8分

（3）假设这样实数存在.

设弦中点为M，由已知得，即

所以点在以弦为直径的圆上。 ………………10分

设以弦为直径的圆方程为：，

     则

消去得：，

       因为

      所以方程无实数根，

     所以，假设不成立，即这样的圆不存在。