Question

若f(x)=sin(x+

π

6

)，x∈(0，π)，关于x的方程f（x）=m有两个不相等的实数根x₁，x₂，则sin（x₁+x₂）=

2

2

．

Answer 1

分析：由x∈[0，π]，知

π

6

≤x+

π

4

≤π+

π

6

，所以-

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，-

1

2

＜m＜1且m≠

2

2

，故a的取值范围为（-

1

2

，

2

2

）∪（

2

2

，1）．当m∈（

2

2

，1）时，x₁、x₂ 关于直线x=

π

2

对称，x₁+x₂ =

π

4

．当a∈（-

1

2

，

2

2

）时，x₁、x₂ 关于直线x=

3π

2

 对称，x₁+x₂ =

3π

4

．由此能求出sin（x₁+x₂）．

解答：解：∵x∈[0，π]，∴

π

6

≤x+

π

4

≤π+

π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，
当方程f（x）=m有两个不相等的实数根x₁、x₂时，-

1

2

＜m＜1且m≠

2

2

，
故a的取值范围为（-

1

2

，

2

2

）∪（

2

2

，1）．
当m∈（

2

2

，1）时，x₁、x₂ 关于直线x=

π

2

对称，x₁+x₂ =

π

4

．
当a∈（-

1

2

，

2

2

）时，x₁、x₂ 关于直线x=

3π

2

 对称，x₁+x₂ =

3π

4

．
综上，sin（x₁+x₂）=sin

π

4

=sin

3π

4

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查函数与方程的综合运用，正弦函数的值域，正弦函数的对称性，得到m的取值范围，是解题的难点．