Question

已知函数f(x)=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a1=1，an+1=f(

1

an

)(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

1

anan+1

，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜

m-2013

2

对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a1=1，an+1=f(

1

an

)(n∈N*)．可得an+1=

2• 1 an +3

3• 1 an

=an+

2

3

，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用（1）可得bn=

1

anan+1

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n+1)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用“裂项求和”即可得到Sn，利用单调性即可得出．

解答：解：（1）由函数f(x)=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a1=1，an+1=f(

1

an

)(n∈N*)可得：an+1=

2• 1 an +3

3• 1 an

=an+

2

3

，
∴数列{a_n}是以1为首项，

2

3

为公差的等差数列，
∴an=1+

2

3

(n-1)=

2

3

n+

1

3

．
（2）∵bn=

1

anan+1

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n+1)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴Sn=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
由Sn＜

m-2013

2

，即

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

m-2013

2

对一切n∈N^*成立，
又

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)随着n单调递增，且

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

3

2

，
∴

3

2

≤

m-2013

2

，故m≥2016．
∴m的最小值为2016．

点评：本题综合考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本技能，属于难题．