Question

已知函数f(x)=sinωx+

3

cosωx(ω＞0)的周期为π．
（1）若x∈[0，+∞），求它的振幅、初相；
（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在x∈[0，π]的图象；
（3）当x∈[0，π]时，根据实数m的不同取值，讨论函数g（x）=f（x）-m的零点个数．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式将函数进行化简，然后即可求它的振幅、初相；
（2）根据五点作图法，即可在给定的平面直角坐标系中作出该函数在x∈[0，π]的图象；
（3）当x∈[0，π]时，根据实数m的不同取值，结合函数f（x）的图象即可讨论函数g（x）=f（x）-m的零点个数．

解答：解：（1）化为f(x)=2sin(ωx+

π

3

)，
由T=π得，ω=2即f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
（1）函数的振幅是A=2，初相为φ=

π

3

；         
（2）列表

x	0	π 12	π 3	7π 12	5π 6	π
2x+ π 3	π 3	π 2	π	3π 2	2π	7π 3
f（x）	3	2	0	-2	0	3

（3）函数g（x）=f（x）-m在x∈[0，π]的零点个数，即函数f(x)=2sin(2x+

π

3

)x∈[0，π]与函数y=m的交点个数，由（2）图象知：
①当m＜-2或m＞2时，函数g（x）无零点；
②当m=±2时，函数g（x）仅有一个零点；
③当-2＜m＜

3

或

3

＜m＜2时，函数g（x）有两个零点；
④当m=

3

时，函数g（x）有三个零点．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．